Suite au cours du 22/01/2013, deux remarques sur la démonstration de propriétés du chapitre de 1ère S sur les variables aléatoires.

 

1) Pour prouver la relation de König-Huygens, on doit entre autres montrer l'égalité:

 

[Somme sur i=1,...,n des (Pi).(Xi)²] = E(X²),

 

où X est une v.a. réelle, définie sur un univers des issues Oméga et où les probabilités Pi sont définies par:

 

Pi = P(X=xi).

 

Par ailleurs, n'oublions pas que l'espérance de la v.a. X² est donnée par la formule: 

 

E(X²) = [Somme sur j=1,...,m des P(X²=Yj).Yj],

 

où les Yj sont les valeurs (réelles) positives prisent par la v.a. X². Ensemblistement, on a dans Oméga,

 

(X²=Yj) = (X=+Racine carrée de Yj) U (X=-Racine carrée de Yj),

 

réunion de deux ensembles (nous préciserons que l'un au moins est non vide), disjoints (dès que Yj est non nul). Donc, en termes de probabilistes:                        

 

P( X²=Yj) = P(X=+RYj) + P(X²=-RYj)

 

où, comme toujours, si un ensemble est vide, sa probabilité est nulle.

 

E(X²) = {Somme sur j=1,...,m des [P(X=+RYj) + P(X=-RYj)].Yj}

 

Précisons que pour tout j de [[1;m]], il existe au moins un et au plus deux i de [[1;n]] tel(s) que Yj=(Xi)² (revoir si besoin les antécédents de la fonction x |--> x²).

Dans le cas où il en existe deux, soient k et l ces deux indices, on a alors Xk=-Xl. Ainsi

 

E(X²) = [somme des (Xi)².P(X=Xi) sur les i tels que Xi>0] + [somme des (Xi)².P(X=Xi) sur tels que Xi<0].

 

S'il existe un i tel que Xi=0, le terme correspondant 0.P(X=0), étant nul, n'influe pas sur l'espérance. Ainsi

 

E(X²) = [Somme des (Xi²).P(X=Xi) sur tous les i de 1 à n],

 

Conclusion: comme, par choix des notations, P(X=Xi) = Pi, E(X²) s'exprime simplement en fonctions des "Pi de X", selon la relation mentionnée en violet ci-dessus.

 

Exemple: soit l'expérience aléatoire modélisée par le triplet (Oméga, P, X):

- Oméga = {a,b,c,d}; 

- P : Oméga --> [[0;1]] définie par P(a)=0,1 ; P(b)=0,2 ; P(c)=0,4 ; P(d)=0,7 ;

- X : Oméga --> IR définie par: X(a)=-1 ; X(b)=0 ; X(c)=1 ; X(d)=2 . 

 

E(X²) = 0,1.(-1)² + 0,2.0² +0,4.1² + 0,7.2²

 

E(X²) = 0,1+0+0,4+2,8

 

E(X²) = (0,1+0,4)+2,8

 

E(X²) = 3,3.

 

Les parenthèses de l'avant dernière ligne regroupent les termes 1.P(X=1) = 0,1 et 1.P(X=-1) = 0,4 dont somme vaut 1.P(X²=1) = 0,5.

 

 

 

 

2) Il est possible de s'y prendre en deux fois pour démontrer la relation

 

V(aX+b)=a²V(X).

 

- D'abord montrer que pour toute v.a. Y et pour toute constante réelle b

 

V(Y+b)=V(Y);

 

- Ensuite, remarquer que si X est une v.a., alors, pour toute constante réel a, aX est aussi une v.a.. On peut donc écrire:

 

V(aX+b)=V(aX).

 

Il ne reste plus qu' prouver que

 

V(aX)=a²V(X).